Question

y"-4y'+4y=-x^2+3x
Пожалуйста ,решите, срочно надоооооо!!!

Answer 1

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
  $y''-4y'+4y=0$

Пусть $y=e^{kx}$ в результате замены получим характеристическое уравнение:
   
   $k^2-4k+4=0;~~~~ (k-2)^2=0;~~~~~ k=2$

Общее решение однородного уравнения: $overline{y}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=-x^2+3x$

$alpha =0;~~~ P_n(x)=-x^2+3x~~Rightarrow~~~~ n=2$

Сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимания, что n=2 частное решение будем искать в виде

$widetilde{y}=Ax^2+Bx+C$

И вычислим для него первые две производные:
  $y'=(Ax^2+Bx+C)'=2Ax+B\ y''=(2Ax+B)'=2A$

И подставляем в исходное дифференциальное уравнение

$2A-4bigg(2Ax+Bbigg)+4bigg(Ax^2+Bx+Cbigg)=-x^2+3x\ \ 2A-8Ax-4B+4Ax^2+4Bx+4C=-x^2+3x\ \ 4Ax^2+bigg(4B-8Abigg)x+2A-4B+4C=-x^2+3x$

Приравниваем коэффициенты при степени х :

$begin{cases} & text{ } 4A=-1 \ & text{ } 4B-8A=3 \ & text{ } 2A-4B+4C=0 end{cases}~~~Rightarrow~~~~begin{cases} & text{ } A=- frac{1}{4} \ & text{ } B= frac{1}{4} \ & text{ } C= frac{3}{8} end{cases}$

Частное решение: $widetilde{y}=- dfrac{x^2}{4} + dfrac{x}{4} + dfrac{3}{8}$

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

                                 $boxed{y=overline{y}+widetilde{y}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}- dfrac{x^2}{4} + dfrac{x}{4} + dfrac{3}{8} }$