Question

Срочно!!!Желательно с полным решением!!!

Answer 1

1. Скорость v(t) - это первая производная от зависимости координаты точки х от времени t - s(t). Поэтому, чтобы найти эту зависимость, надо взять интеграл от скорости.

$s(t) = intlimits {v(t)} , dt = intlimits {(-2t+1)} , dt = -2* frac{1}{2} t^{2}+t+C = -t^2+t+C$

Т.к. в начальный момент времени точка была в начале координат, то постоянная С находится путём подстановки:

$t=0 \ s(0)=0 \ s(0) = -0^2+0+C =0 \ C=0 \ \ s(t) = -t^2+t$

Ответ: В

2. Первообразные от табличных функций:

$intlimits {f(x)} , dx = intlimits {(5^x -3)} , dx =intlimits {5^x} , dx - intlimits {3} , dx = frac{5^x}{ln5} -3x$

Ответ: А

3. Первообразная:

$intlimits {f(x)} , dx = intlimits { frac{1}{x} } , dx = ln|x|$

На интервале $(-infty; 0)$ функция f(x)=1/x отрицательна, первообразная ln(x) при этих значениях не существует, поэтому пишут:
$intlimits { frac{1}{x} } , dx = ln|x|$
Или, для указанного интервала можно записать:
$intlimits { frac{1}{x} } , dx = ln(-x)$

Ответ: Б

4. Находим первообразную. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2. Затем двойку заносим под дифференциал. От этого ничего не меняется, т.к. d(2x) = 2dx. В этом случае аргумент функции (в данном случае синуса) будет совпадать с дифференциалом, и можно напрямую воспользоваться табличной первообразной синуса.

$intlimits {f(x)} , dx = intlimits {sin(2x)} , dx = frac{1}{2} intlimits {2sin(2x)} , dx = \ \ = frac{1}{2} intlimits {sin(2x)} , d(2x) =frac{1}{2} (-cos(2x)) = -frac{1}{2} cos(2x) +C$

Первообразная проходит через точку (0; -1). Поэтому надо в полученную первообразную вместо икса подставить его значение (х=0) и приравнять значению первообразной (-1). Так мы найдём постоянную С.

$-frac{1}{2} cos(2*0) +C = -1 \ \ -frac{1}{2} cos(0) +C = -1 \ \ -frac{1}{2} *1 +C = -1 \ \ C = -1 + frac{1}{2} = -frac{1}{2} =$

Итак, искомая первообразная имеет вид:
$intlimits {sin(2x)} , dx = -frac{1}{2} cos(2x) -frac{1}{2}$

Ответ: Б

5. Из рисунка видно, что площадь фигуры ищется от нуля до единицы.
Закрашенную область можно вычислить так:
1) найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y= (frac{1}{3} )^x$
2) найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y = frac{x}{3}$
3) из первой площади вычитаем вторую.

$S = intlimits^1_0 {(frac{1}{3} )^x} , dx - intlimits^1_0 { frac{x}{3}} , dx = intlimits^1_0 {3^{-x}} , dx - intlimits^1_0 { frac{x}{3}} , dx = \ \ = -intlimits^1_0 {3^{-x}} , d(-x) - intlimits^1_0 { frac{x}{3}} , dx = (- frac{3^{-x}}{ln3} - frac{1}{6}x^2)|_0^1 = \ \ = (- frac{3^{-1}}{ln3} - frac{1}{6}1^2) - (- frac{3^{0}}{ln3} - frac{1}{6}0^2)= \ \ = - frac{1}{3ln3} - frac{1}{6} + frac{1}{ln3}= frac{3}{3ln3} -frac{1}{3ln3} - frac{1}{6} =$

$=frac{2}{3ln3} - frac{1}{6}$

Ответ: Г