Question

Найдите количество целочисленных решений (a;b;c) уравнения 27^a*75^b*5^c=1875 удовлетворяющих условию |a+b+c|<111.

Answer 1

27^a=3^(3a); 75^b=3^b*5^(2b); 5^c
1875=3*5^4
27^a*75^b*5^c=3^(3a+b)*5^(2b+c)=3*5^4
Получаем систему 2 уравнений с 3 неизвестными
{ 3a+b=1
{ 2b+c=4
Решаем. Выразим всё через b
{ a=(1-b)/3
{ c=4-2b
По условию |a+b+c| < 111
|(1-b)/3+b+4-2b| < 111
Умножим всё на 3
|1-b+3b+12-6b| < 333
|-4b+13| < 333
-333 < -4b+13 < 333
-346 < -4b < 320
Делим всё на -4, при этом неравенство переворачивается.
-80 < b < 86,5
Так как b целые, то
b € [-79; 86]
Это 79+86+1=166 решений.