Question

$sqrt{4-sqrt{7}}$

Answer 1

$sqrt{4-sqrt{7}}=sqrt{frac{8-2sqrt{7}}{2}}=sqrt{frac{1+7-2sqrt{1cdot 7}}{2}}= sqrt{frac{(sqrt{1})^2-2sqrt{1}sqrt{7}+(sqrt{7})^2}{2}}=$

$sqrt{frac{(sqrt{1}-sqrt{7})^2}{2}}=frac{|1-sqrt{7}|}{sqrt{2}}= frac{sqrt{7}-1}{sqrt{2}}$

Замечание. Смысл метода упрощения выражения вида $sqrt{apm2sqrt{b}}$ - в попытке представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого нужно подобрать такие x и y, чтобы x+y=a; xy=b. В "хороших задачах" это удается сделать "вручную", иначе x и y можно найти в виде решений квадратного уравнения $t^2-at+b=0$ (это следует из теоремы Виета). Конечно, задача в действительных числах решается не всегда, так как дискриминант этого уравнения может быть отрицательным. Кроме того, если дискриминант не является полным квадратом, результат преобразований будет неутешительным