Question

Найдите количество целочисленных решений (a;b;c) уравнения
$150^{a} * ( frac{200}{3}) ^{b} * 2250^{c} = 506250$, удовлетворяющих условию |a+b+c|<91 . 

Answer 1

Раскладываем левую часть на простые множители.
$150^a=(2cdot3cdot5^2)^a=2^acdot3^acdot5^{2a}\ left(dfrac{200}3right)^b=(2^3cdot3^{-1}cdot5^2)^b=2^{3b}cdot3^{-b}cdot5^{2b}\ 2250^c=(2cdot3^2cdot5^3)^c=2^ccdot3^{2c}cdot5^{3c}\ 150^acdotleft(dfrac{200}3right)^bcdot2250^c=2^{a+3b+c}cdot3^{a-b+2c}cdot5^{2a+2b+3c}$

Поскольку $506250=2cdot3^4cdot5^5$, то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет выполняться система
$begin{cases}a+3b+c=1\a-b+2c=4\2a+2b+3c=5end{cases}$

Заметим, что третье уравнения системы - сумма первых двух, так что его можно убрать из рассмотрения, останется система из двух уравнений с тремя неизвестными. Выразим b и c через a:
$begin{cases}a+3b+c=1\a-b+2c=4end{cases}begin{cases}a+3(a+2c-4)+c=1\b=a+2c-4end{cases}\begin{cases}7c=13-4a\b=a+2c-4end{cases}\begin{cases}c=dfrac{13-4a}7\b=-dfrac{a+2}7end{cases}$

Поскольку b должно быть целым, a должно давать остаток 5 при делении на 7; $a=7a'+5$. Подставляем:
$begin{cases}a=7a'+5\b=-a'-1\c=-4a'-1end{cases}$

Эти равенства при любых целых a' задают все целочисленные решения уравнения. Найдём количество решений, удовлетворяющих неравенству.
$|a+b+c|=|7a'+5-a'-1-4a'-1| textless 91\ |2a'+3| textless 91\ -91 textless 2a'+3 textless 91\ -94 textless 2a' textless 88\ -47 textless a' textless 44$

Подходят -47 < a' < 44, таких a' найдётся 44 + 47 - 1 = 90

Answer 2

Nelle все правильно решила, но этот переход к а' не очень понятен. Я решил эту систему, выразив всё через b:
a = -2-7b; b; c = 4b+3.
Получилось без дробей.
Подставляем в условие
|a+b+c|=|-2-7b+b+4b+3|=|-2b+1|<91
-91 < -2b+1 < 91
-92 < -2b < 90
-90 < 2b < 92
-45 < b < 46.
Значит, целое b принадлежит [-44; 45]. Это 44+45+1=90 значений.