Question

найти производную по определению 2 x^3 + 3 x^2 - 2 sqrt(x) + 3

Answer 1

Производная функции есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления приращения аргумента к нулю:
$y'=limlimits_{Delta xto 0} dfrac{Delta y}{Delta x}$

Отдельно выпишем и преобразуем значение $Delta y$:
$Delta y =left(2(x+Delta x)^3+3(x+Delta x)^2-2 sqrt{x+Delta x}+3 right)- \ { } -left(2x^3+3x^2-2 sqrt{x}+3 right)= \ =2x^3+6x^2Delta x+6x(Delta x)^2+2(Delta x)^3+3x^2+6xDelta x+3(Delta x)^2- \ { } -2 sqrt{x+Delta x}+3- 2x^3-3x^2+2 sqrt{x}-3= \ =6x^2Delta x+6x(Delta x)^2+2(Delta x)^3+6xDelta x+3(Delta x)^2- \ { } -2 sqrt{x+Delta x}+2 sqrt{x}= \ =Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta xright)- \ { } -2( sqrt{x+Delta x}- sqrt{x})=$
$=Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta xright)- \ { } -2 dfrac{( sqrt{x+Delta x}- sqrt{x})( sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x})}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} = \ =Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta xright)-2 dfrac{( sqrt{x+Delta x})^2- (sqrt{x})^2}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} = \ =Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta xright)-2 dfrac{ x+Delta x- x}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} =$
$=Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta xright)-2 dfrac{ Delta x}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} = \ =Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta x- dfrac{ 2}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} right)$

Подставляем найденное значение в формулу для $y'$:
$y'= \ =limlimits_{Delta xto 0} dfrac{Delta xleft(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta x- dfrac{ 2}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} right)}{Delta x}= \ =limlimits_{Delta xto 0} left(6x^2+6xDelta x+2(Delta x)^2+6x+3Delta x- dfrac{ 2}{ sqrt{x+Delta x}+ sqrt{x}} right)= \ =6x^2+6xcdot0+2cdot 0^2+6x+3cdot0- dfrac{ 2}{ sqrt{x+0}+ sqrt{x}} = \ =6x^2+6x- dfrac{ 2}{ sqrt{x}+ sqrt{x}} =6x^2+6x- dfrac{ 2}{2 sqrt{x}} = boxed{6x^2+6x- dfrac{ 1}{ sqrt{x}} }$

Ответ: $6x^2+6x- dfrac{ 1}{ sqrt{x}}$

Answer 2

а вы здесь использовали встроенный латекс редактор?