Question

Сторона правильного треугольника вписанного в окружность с радиусом R, равна: а)R корень из 2, б) R корень из 3, в) R

Answer 1

Соединим центр (точку О) вписанной окружности с вершинами правильного треугольника. Рассмотрим ΔАОВ. АО=ВО=R, ∠АОВ=180°-30°-30°=120°, АВ=а.
По теореме косинусов:

$a^2=R^2+R^2-2cdot Rcdot Rcdot cos120^circ \\a^2=2R^2+2R^2cos60^circ \\a^2=2R^2(1+ frac{1}{2} )\\a^2=2R^2cdot frac{3}{2}\\a^2=3R^2\\a=Rsqrt3$