Question

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.

Answer 1

а) Сумма углов треугольника 180°. Пусть угол А в ∆ АВС=α

(∠В+∠С+∠А)-∠А=180°-α

Биссектрисы делят ∠В и ∠С пополам. 

Сумма половин углов В и С равна половине их суммы (180°-α):2=90°-α/2

Из суммы углов треугольники 

∠ВОС=180°- (90-α/2)=90°+α/2 – угол между биссектрисами углов В и С.

б) ВК и СК - биссектрисы внешних ∠МВСи ∠ВСН треугольника АВС.

Углы АВМ и АСН развернутые и равны 180°. Биссектрисы смежных углов делят их пополам. 

(АВС+МВС):2=180°:2=90°

Аналогично угол ОСК=90°

В четырехугольнике ОВКС  сумма всех углов 360°(свойство), а прямых углов В и С равна 180°. 

Следовательно, угол ВКС=360°-180-угол ВОС=180°-(90+α/2)=90-α/2