Question

Исследовать функцию и построить график.
y=x^3-6x^2+9x

Answer 1

ДАНО

Y = x³ - 6x² + 9x

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= 0 Корни: х₁,₂ =3,  х₃ = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² - 12*х+9 = 3*(х-1)*(х - 3). 

Корни: х₁=1 , х₂ = 3. 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(11)= 4, минимум – Ymin(3)=0. 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;1)∪(3;+∞) , убывает = Х∈(1;3). 

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*(x - 2)=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(2)= 2. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;2), Вогнутая – «ложка» Х∈(2;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(oo)Y(x)/x = ∞.  Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.