Question

исследовать функцию f(x)=x^5/5-4x^3/3 и построить ее график

Answer 1

ДАНО

Y=1/5*x⁵ - 4/3*x³

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= x³*(x²/5 - 4/3). Корни: х₁,₂ = +/- 2/3*√15,  х₃ = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= x⁴ - 4*х² = х²*(х - 2)*(x+2) = 0   . 

Корни: х₁=0 , х₂ = 2, x₃ = -2. 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(-2)= 64/15 ≈ 4.3, минимум – Ymin(2)= - 64/15 . 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈[-2;2] , убывает = Х∈(-∞;-2)∪(2;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = 4*x*(x - 2)=0. 

Корни производной - точки перегиба  - x₁= 0, x₂ = √2 ≈ 1.4 x₃ = -√2. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√2)∪[0.√2], Вогнутая – «ложка» Х∈(-√2;0])∪[√2;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(oo)Y(x)/x = ∞.  Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.