Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

4.9. $x^2y' + xy +1 = 0$
Перед нами линейное неоднородное уравнение первого порядка.
То, что уравнение неоднородное, проверяется очень просто. Надо вместо х поставить $lambda x$, а вместо у поставить $lambda y$, саму производную не трогаем, где $lambda$ некий параметр. Если его удастся сократить, то уравнение однородное.
$(lambda x)^2y' + (lambda x)(lambda y) +1 = 0 \ \ lambda^ 2 x^2y' + lambda^2 xy + 1 = 0$
Сократить $lambda$ мешает единица. Значит, уравнение неоднородное. Перепишем его в таком виде, разделив обе части на х²:
$y' + frac{y}{x} + frac{1}{x^2} = 0 \ \ y' + frac{y}{x} = - frac{1}{x^2}$

Самое, что ни есть, линейное неоднородное уравнение первого порядка. Такое уравнение можно решить одной заменой:
$y = uv$, где u и v - некоторые неизвестные функции от икса.
По правилу дифференцирования сложных функций:
$y' = u'v + uv'$

Подставляем в исходное уравнение:
$y' + frac{y}{x} = - frac{1}{x^2} \ \ u'v + uv' + frac{uv}{x} = -frac{1}{x^2} \ \ u'v + u(v' + frac{v}{x}) = -frac{1}{x^2}$

Составляем систему. То, что в скобках приравниваем нулю, оставшийся член приравниваем правой части:
$v' + frac{v}{x} = 0 \ \ u'v = -frac{1}{x^2}$

Решаем по порядку. Из первого уравнения находим v.
$v' = -frac{v}{x} \ \ frac{dv}{dx} =-frac{v}{x} \ \ frac{dv}{v} = -frac{dx}{x} \ \ intlimits {frac{1}{v}} , dv = -intlimits {frac{1}{x}} , dx \ \ ln|v| = - ln|x| \ \ ln|v| = ln|x|^{-1} = ln frac{1}{|x|} \ \ v = frac{1}{x}$

Полученное v подставляем во второе уравнение.
$u'v = -frac{1}{x^2} \ \ frac{du}{dx} frac{1}{x} = -frac{1}{x^2} \ \ du = - frac{dx}{x} \ \ intlimits {} , du = -intlimits { frac{1}{x} } , dx \ \ u = -ln|x|+C$

Обе неизвестные функции u и v нашли, записываем решение:
$y = uv = (-ln|x|+C) frac{1}{x}$

Находим частное решение при y(1) = 0
$y(1) = (-ln|1|+C) frac{1}{1} = (0 + C) = 0 \ C = 0$

И последнее, записываем ответ:
$y = (-ln|x|+0) frac{1}{x} = -frac{1}{x} ln|x|$