Question

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y=φ(x) при x=x0 с точностью до двух знаков после запятой.

Answer 1

1.9. $y''' = cos^2 x$
Разделяем переменные, интегрированием находим вторую производную. У косинуса понижаем степень, используя формулу двойного угла.

$\frac{d(y'')}{dx} = cos^2 x \\ \\ d(y'')=cos^2 x dx \\ \\ \int\limits {d(y'')} \, dy = \int\limits {cos^2 x} \, dx \\ \\ y'' = \int\limits { \frac{1}{2} (1+cos2x)} \, dx \\ \\ y'' = \frac{1}{2} (x+ \frac{1}{2} sin2x)+C = \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin2x+C \\ \\ y''(0) = \frac{1}{2}*0+ \frac{1}{4} sin(2*0)+C = C = 0 \\ \\ y'' = \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin2x$

Повторяем интегрирование. Для нахождения постоянной интегрирования используем начальные условия.

$\frac{d(y')}{dx} = \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin2x \\ \\ d(y') = (\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin2x) dx \\ \\ \int\limits {d(y')} \, dy = \int\limits {(\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} sin2x)} \, dx \\ \\ y' = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8} cos2x + C \\ \\ y'(0) = \frac{1}{4}0^2 - \frac{1}{8} cos (2*0) + C = - \frac{1}{8} +C = - \frac{1}{8}; C = 0 \\ \\ y' =\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8} cos2x$

Ещё раз повторяем.

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8} cos2x \\ \\ dy = (\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8} cos2x)dx \\ \\ \int\limits {} \, dy = \int\limits {(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8} cos2x)} \, dx \\ \\ y = \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{16} sin2x +C \\ \\ y(0) = \frac{1}{12}0^3 - \frac{1}{16} sin(2*0) +C = C = 1 \\ \\ y = \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{16} sin2x +1$

Подставляем и считаем

$y(x_0) = y( \pi ) = \frac{1}{12} \pi ^3 - \frac{1}{16} sin2 \pi +1 = \frac{ \pi ^3}{12} + 1 \approx 3,58$