Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/c20/c207b0fb7a78147f1f81a2d125fa1737.jpg)
Ответы
Ответ дал:
0
6.9. ![y''+y=x^3-4x^2+7-10 y''+y=x^3-4x^2+7-10](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%2By%3Dx%5E3-4x%5E2%2B7-10)
Ищем общее решение Y однородного уравнения:
![y''+y =0 y''+y =0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%2By+%3D0)
Характеристическое уравнение:
![lambda^2+1 = 0 \ lambda^2 = -1 \ lambda = pm i lambda^2+1 = 0 \ lambda^2 = -1 \ lambda = pm i](https://tex.z-dn.net/?f=lambda%5E2%2B1+%3D+0+%5C+lambda%5E2+%3D+-1+%5C+lambda+%3D+pm+i)
Имеем два сопряжённых комплексных корня характеристического уравнения:
![lambda_1 = alpha - beta x = 0 - 1*i = -i \ lambda_2 = alpha + beta x = 0 + 1*i = +i lambda_1 = alpha - beta x = 0 - 1*i = -i \ lambda_2 = alpha + beta x = 0 + 1*i = +i](https://tex.z-dn.net/?f=lambda_1+%3D++alpha+-++beta+x+%3D+0+-+1%2Ai+%3D+-i+%5C+lambda_2+%3D++alpha+%2B++beta+x+%3D+0+%2B+1%2Ai+%3D+%2Bi)
тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
![Y = e^{ alpha x}( C_1 cos beta x + C_2 sin beta x) Y = e^{ alpha x}( C_1 cos beta x + C_2 sin beta x)](https://tex.z-dn.net/?f=Y+%3D+e%5E%7B+alpha+x%7D%28+C_1+cos+beta+x+%2B+C_2+sin+beta+x%29)
Подставляем наши значения:
![Y = e^{ 0* x}( C_1 cos (1*x) + C_2 sin (1*x)) = C_1 cos x + C_2 sin x Y = e^{ 0* x}( C_1 cos (1*x) + C_2 sin (1*x)) = C_1 cos x + C_2 sin x](https://tex.z-dn.net/?f=Y+%3D+e%5E%7B+0%2A+x%7D%28+C_1+cos+%281%2Ax%29+%2B+C_2+sin+%281%2Ax%29%29+%3D+C_1+cos+x+%2B+C_2+sin+x)
Т.к. правая часть содержит степенную функцию, то частное решение ищем в виде:
![y = Ax^3+Bx^2+Cx+D \ \ y' = 3Ax^2+2Bx+C \ \ y'' = 6Ax + 2B y = Ax^3+Bx^2+Cx+D \ \ y' = 3Ax^2+2Bx+C \ \ y'' = 6Ax + 2B](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+Ax%5E3%2BBx%5E2%2BCx%2BD+%5C++%5C+y%27+%3D+3Ax%5E2%2B2Bx%2BC+%5C++%5C+y%27%27+%3D+6Ax+%2B+2B)
Используем метод неизвестных коэффициентов, чтобы найти наши A, B, C, D, для чего предполагаемую функцию и её вторую производную подставляем в исходное уравнение:
![6Ax + 2B + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = x^3-4x^2+7-10 \
\ Ax^3 +Bx^2 + (6A+C)x + (2B+D) = x^3-4x^2+7-10 \ \ \ A = 1 \ B=
-4 \ 6A+C = 7; C=7-6*1= 1 \ 2B+D = -10; D = -10 -2*(-4) = -2 6Ax + 2B + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = x^3-4x^2+7-10 \
\ Ax^3 +Bx^2 + (6A+C)x + (2B+D) = x^3-4x^2+7-10 \ \ \ A = 1 \ B=
-4 \ 6A+C = 7; C=7-6*1= 1 \ 2B+D = -10; D = -10 -2*(-4) = -2](https://tex.z-dn.net/?f=6Ax+%2B+2B+%2B+Ax%5E3+%2B+Bx%5E2+%2B+Cx+%2B+D+%3D+x%5E3-4x%5E2%2B7-10+%5C++%0A%5C+Ax%5E3+%2BBx%5E2+%2B+%286A%2BC%29x+%2B+%282B%2BD%29+%3D+x%5E3-4x%5E2%2B7-10+%5C++%5C++%5C+A+%3D+1+%5C+B%3D+%0A-4+%5C+6A%2BC+%3D+7%3B+C%3D7-6%2A1%3D+1+%5C+2B%2BD+%3D+-10%3B+D+%3D+-10+-2%2A%28-4%29+%3D+-2)
Итак, частное решение такое:
![y = x^3-4x+x-2 y = x^3-4x+x-2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+x%5E3-4x%2Bx-2)
Суммируем общее и частное решения Y + y:
![y = C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2 y = C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+C_1+cos+x+%2B+C_2+sin+x+%2B+x%5E3-4x%5E2%2Bx-2)
Находим частное решение по начальным условиям:
y(0) = 2; y'(0) = 3
Находим производную:
![y' = (C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2)' = \ \ =-C_1 sinx + C_2 cosx +3x^2 -8x +1 y' = (C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2)' = \ \ =-C_1 sinx + C_2 cosx +3x^2 -8x +1](https://tex.z-dn.net/?f=y%27+%3D+%28C_1+cos+x+%2B+C_2+sin+x+%2B+x%5E3-4x%5E2%2Bx-2%29%27+%3D+%5C+%5C+%3D-C_1+sinx+%2B+C_2+cosx+%2B3x%5E2+-8x+%2B1)
Подставляем начальные значения в у и у'
![y(0) = C_1 cos 0 + C_2 sin 0 + 0^3-4*0^2+0-2 = C_1 - 2 =2; C_1= 4 \
\ y'(0) = -C_1 sin0 + C_2 cos0 +3*0^2 -8*0 +1 =C_2 +1 =3; C_2= 2
y(0) = C_1 cos 0 + C_2 sin 0 + 0^3-4*0^2+0-2 = C_1 - 2 =2; C_1= 4 \
\ y'(0) = -C_1 sin0 + C_2 cos0 +3*0^2 -8*0 +1 =C_2 +1 =3; C_2= 2](https://tex.z-dn.net/?f=%0A+y%280%29+%3D+C_1+cos+0+%2B+C_2+sin+0+%2B+0%5E3-4%2A0%5E2%2B0-2+%3D+C_1+-+2+%3D2%3B+C_1%3D+4+%5C++%0A%5C+y%27%280%29+%3D+-C_1+sin0+%2B+C_2+cos0+%2B3%2A0%5E2+-8%2A0+%2B1+%3DC_2+%2B1+%3D3%3B+C_2%3D+2)
Итак, требуемое решение выглядит так:
![y = 4 cos x + 2sin x + x^3-4x^2+x-2 y = 4 cos x + 2sin x + x^3-4x^2+x-2](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+4+cos+x+%2B+2sin+x+%2B+x%5E3-4x%5E2%2Bx-2)
Ищем общее решение Y однородного уравнения:
Характеристическое уравнение:
Имеем два сопряжённых комплексных корня характеристического уравнения:
тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
Подставляем наши значения:
Т.к. правая часть содержит степенную функцию, то частное решение ищем в виде:
Используем метод неизвестных коэффициентов, чтобы найти наши A, B, C, D, для чего предполагаемую функцию и её вторую производную подставляем в исходное уравнение:
Итак, частное решение такое:
Суммируем общее и частное решения Y + y:
Находим частное решение по начальным условиям:
y(0) = 2; y'(0) = 3
Находим производную:
Подставляем начальные значения в у и у'
Итак, требуемое решение выглядит так:
Ответ дал:
0
Ответ такой
Ответ дал:
0
Да, всё верно. Если откроют для изменения, то перепишу.
Ответ дал:
0
https://znanija.com/task/27738004
Ответ дал:
0
Всё. Смотрите и там и тут.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад