Question

Упростить и решить уравнение:
sin(пи/3+x)-cos( пи+x)+1=0
Помогите, пожалуйста)

Answer 1

По формулам приведения: cos(pi + x) = -cos x
Раскладываем синус суммы
sin(pi/3)*cos x + cos(pi/3)*sin x + cos x + 1 = 0
√3/2*cos x + 1/2*sin x + cos x + 1 = 0
Умножаем всё на 2
√3*cos x + sin x + 2cos x + 2 = 0
cos x*(√3 + 2) + sin x + 2 = 0
Переходим к половинному аргументу
(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))*(√3+2) + 2sin(x/2)cos(x/2) + 2(cos^2(x/2)+sin^2(x/2)) = 0
cos^2(x/2)*(√3+2+2) + 2sin(x/2)cos(x/2) + sin^2(x/2)*(-√3-2+2) = 0
Приводим подобные и делим всё на sin^2(x/2)
tg^2(x/2)*(√3+4) + 2tg(x/2) - √3 = 0
Получили квадратное уравнение, хоть и с необычными коэффициентами.
D/4 = 1 + √3*(√3 + 4) = 1 + 3 + 4√3 = 4 + 4√3 = 4(1 + √3)
tg(x/2)1 = (-1 - 2√(1+√3)) / (√3 + 4) = (-1-2√(1+√3))*(4-√3) / (4-3)
x1 = 2*arctg [(-1-2√(1+√3))*(4-√3)] + pi*k
tg(x/2)2 = (-1 + 2√(1+√3)) / (√3 + 4) = (-1+2√(1+√3))*(4-√3) / (4-3)
x2 = 2*arctg [(-1+2√(1+√3))*(4-√3)] + pi*k