Question

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (замены переменной)

Answer 1

$\displaystyle \int6\cos 5xdx= \left\{\begin{array}{ccc}5x=t\\ 5dx=dt\end{array}\right\}= \frac{6}{5} \int\cos tdt= \frac{6}{5} \sin t+C=\frac{6}{5} \sin5x+C$


$\displaystyle \int\bigg(7x^3-9\bigg)^{10}x^2dx= \left\{\begin{array}{ccc}7x^3-9=t\\ 21x^2dx=dt\end{array}\right\}= \frac{1}{21} \int t^{10}dt=\\ \\ \\ =\frac{1}{21}\cdot \frac{t^{11}}{11} +C= \frac{(7x^3-9)^{11}}{231} +C$


$\displaystyle\int \frac{ctg^2x}{\sin^2x}dx=\int \frac{\cos^2x}{\sin^4x} dx= \int \frac{1-\sin^2x}{\sin^4x}dx=\int \frac{dx}{\sin^4x} -\int \frac{dx}{\sin^2x}=\\ \\ \\ =- \frac{1}{3} ctgx\cdot \frac{1}{\sin^2x} + \frac{2}{3} \int\frac{dx}{\sin^2x} +ctgx+C=\\ \\ \\ =- \frac{2}{3} ctgx- \frac{1}{3} ctgx\cdot \frac{1}{\sin^2x} +ctgx+C$