Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 9 дм. В треугольник вписан круг. Вычисли площадь вписанного круга. (π≈3; ответ округли до сотых).
Ответы
Дано:
ΔABC
AB = AC = BC = 9 дм
вписанная в ΔABC окружность
Найти:
S (площадь вписанного в ΔABC круга) - ?
Решение:
Если мы знаем и умеем доказывать, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен AB / (√3 · 2), то мы сразу говорим, что:
r = AB / (√3 · 2) = 9 / (√3 · 2) = 4.5 / √3 (дм),
и дальше сразу ищем площадь круга.
- Если мы вдруг не знаем этого, то алгоритм действий может быть следующим:
* * * * * * * * * *
Центр вписанной окружности O - это точка пересечения биссектрис треугольника AD, BE и CF.
Рассмотрим, например, ΔAOE. Он прямоугольный: ∠AEO = 90°.
Так как AO - биссектриса ∠BAC, то ∠OAE = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30°. Значит, 2 · EO = AO.
При этом AE = AC / 2 = 4.5 (дм), и OE - как-раз радиус r вписанной окружности, так как BE - одновременно биссектриса, медиана и высота равностороннего треугольника.
Теорема Пифагора для ΔAOE:
AE² + OE² = AO²
AE² + r² = (2 · r)²
AE² = 3 · r²
4.5² = 3 · r²
r = 4.5 / √3 (дм)
* * * * * * * * * *
- Теперь мы точно можем найти площадь круга!
S = π r² = π · (4.5 / √3)² = 6.75 π ≈ 20.25 (дм²)
Ответ: 20.25 дм²
