Question

$intlimits^a_b { frac{cos ^{2}x}{ e^{3x} } } , dx =$
Решить как неопределенный.Дифференцировал по частям, получается какой-то бесконечный цикл.Может можно легче?

Answer 1

Cначала вычислим неопределённый интеграл, а уже потом , найдя первообразную, определённый.

$int frac{cos^2x}{e^{3x}} , dx=int e^{-3x}cdot frac{1+cos2x}{2} , dx=frac{1}{2}cdot int e^{-3x}, dx+frac{1}{2}cdot int e^{-3x} cdot cos2x, dx=\\=-frac{1}{2}cdot frac{1}{3}e^{-3x}+frac{1}{2}cdot underbrace {int e^{-3x}cdot cos2x, dx}_{Q}=- frac{1}{6}cdot e^{-3x}+frac{1}{2}cdot Q; .$

$Q=int e^{-3x}cdot cos2x, dx=Big [, u=e^{-3x},; du=-3e^{-3x}dx,, dv=cos2x, dx,\\v=int dv=frac{1}{2}sin2x, Big ]=uv-int v, du=\\=frac{1}{2}e^{-3x}, sin2x+frac{3}{2}int e^{-3x}sin2x, dx=\\=Big [, u=e^{-3x},; du=-3e^{-3x}, dx,; dv=sin2x, dx,; v=-frac{1}{2}cos2x, Big ]=\\=frac{1}{2}e^{-3x}sin2x+frac{3}{2}cdot Big (-frac{1}{2}e^{-3x}cos2x-frac{3}{2}int e^{-3x}cos2x, dxBig )=\\=frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-frac{9}{4}underbrace {int e^{-3x}cos2x, dx}_{Q}.$

$Q=frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-frac{9}{4}cdot Q\\Q+frac{9}{4}cdot Q=frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\frac{13}{4}cdot Q=frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\Q=frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-frac{3}{13}e^{-3x}cos2x\\\int frac{cos^2x}{e^{3x}}, dx=-frac{1}{6}e^{-3x}+frac{1}{2}cdot Big (frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-frac{3}{13}e^{-3x}cos2xBig )=\\=e^{-3x}cdot Big (-frac{1}{6}+frac{1}{13}sin2x-frac{3}{26}cos2xBig )$

$intlimits^a_b frac{cos^2x}{e^{3x}} , dx=e^{-3a}(-frac{1}{6}+frac{1}{13}sin2a-frac{3}{26}cos2a)-\\-e^{-3b}cdot (- frac{1}{6}-frac{1}{13}sin2b-frac{3}{26}cos2b)$