Question

Решите уравнение:
sinx+cosx=1

Answer 1

Ясно, что решения могут находиться только в первой четверти (если синус или косинус отрицателен, их сумма будет меньше 1). Решения $2pi n$ и $frac{pi}{2}+2pi n$ очевидны. Докажем, что других решений нет. Пусть x лежит строго в первой четверти, тогда $0 textless sin x textless 1; 0 textless cos x textless 1Rightarrow sin^2 x textless sin x; cos^2 x textless cos xRightarrow$

$1=sin^2 x+cos^2 x textless sin x+cos x.$

Итак, $sin x+cos x textgreater 1Rightarrow$ решений больше нет