Question

интеграл от 0 до п/4 sin^2(x-п/6)

Answer 1

$intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {sin^2(x- frac{ pi }{6} )} , dx = intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {sin^2(x- frac{ pi }{6} )} , dx = frac{1}{2} intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {(1-cos(2x- frac{ pi }{3} ))} , dx = \ \ = frac{1}{2} intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {1} , dx - frac{1}{2} intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {cos(2x- frac{ pi }{3} )} , dx =$

$= frac{1}{2} intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {1} , dx - frac{1}{2} intlimits^{ frac{ pi }{4} }_0 {frac{1}{2}cos(2x- frac{ pi }{3} )} , d(2x- frac{ pi }{3} ) = \ \ = frac{1}{2} x|_0^{ frac{ pi }{4} } - frac{1}{4} sin(2x- frac{ pi }{3} )|_0^{ frac{ pi }{4} } = frac{ pi }{8} - frac{1}{4}( sin( frac{ pi }{2} -frac{ pi }{3} ) - sin(0-frac{ pi }{3}) ) = \ \ = frac{ pi }{8} - frac{1}{4} ( sin frac{ pi }{6} +sin frac{ pi }{3} ) =$

$= frac{ pi }{8} - frac{1}{4} ( frac{1}{2} + frac{ sqrt{3} }{2} ) = frac{1}{8} ( pi -1- sqrt{3} ) approx 0,051$