Question

Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равентсво:

Answer 1

$1+2+...+n= frac{n(n+1)}{2}$
При n=1 $1= frac{1(1+1)}{2}$ верно
Пусть при n=k $1+2+...+k= frac{k(k+1)}{2}$ верно
Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верно
$1+2+...+k+k+1= frac{k(k+1)}{2}+k+1= frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}= frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$1+4+...+(3n-2)= frac{n(3n-1)}{2}$
При n=1 $1= frac{1(3-1)}{2}$ верно
Пусть при n=k $1+4+...+(3k-2)= frac{k(3k-1)}{2}$ верно
Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верно
$1+4+...+(3k-2)+(3(k+1)-2)= frac{k(3k-1)}{2} +(3k+1)= \ = frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}= frac{3k^2-k+6k+2}{2} = frac{3k^2+3k+2k+2}{2} = frac{(3k+2)(k+1)}{2}$

Answer 2

1) Можно с помощью суммы арифметической прогрессии
 $S=frac{a_1+d(n-1)}{2}cdot n\d=1,;a_1=1,;a_n=n\S=frac{2+n-1}{2}cdot n=frac{n+1}{2}cdot n$
 $2)a_1=1,;d=3,;a_n=a_1+d(n-1)=1+3(n-1)=3n-2\S=frac{2cdot 1+3(n-1)}{2}cdot n=frac{(3n-1)n}{2}$