Question

1)Запишите формулу для вычисления (рис. 5):
а) MN, если MK = a, NK = b, ∠K = α;
б) MK, если MK = a, ∠M = α, ∠K = β;
в) ∠M, если MN = a, NK = b, MK = c.
2)Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 6, ∠K = 45°, ∠N = 60°.

Answer 1

$1); ; MK=a; ,; ; NK=b; ,; ; angle K= alpha ; ,; ; MN=?\\MN= sqrt{a^2+b^2-2ab, cos alpha }\\2); ; NK=a; ,; angle M= alpha ; ,; ; angle K=beta ; ,; ; MK=?\\frac{MK}{sin(180- alpha - beta )}=frac{a}{sin alpha } ; ,; ; ; MK= frac{a, sin(180- alpha - beta )}{sin alpha }\\3); ; MN=a; ,; ; NK=b; ,; ; MK=c; ,; ; angle M=?\\b^2=a^2+c^2-2ac, cosangle M; ,; ; ; cosangle M=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$4); ; MK=6; ,; ; angle K=45^circ ; ,; ; angle N=60^circ ; ,; ; S=?\\angle M=180^circ-45^circ -60^circ =75^circ \\frac{6}{sin60^circ }=frac{MN}{sin45^circ }; ,; ; MN=frac{6cdot sin45^circ }{sin60^circ }=frac{6cdot frac{sqrt2}{2}}{frac{sqrt3}{2}}=frac{6sqrt2}{sqrt3}=sqrt3cdot sqrt2=sqrt6\\S=frac{1}{2}cdot MNcdot MKcdot sin75^circ \\sin75^circ =sin(30^circ +45^circ )=frac{1}{2}cdot frac{sqrt2}{2}+frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt2}{2}=frac{sqrt2+sqrt6}{4}$

$S=frac{1}{2} cdot sqrt6cdot 6cdot frac{sqrt2+sqrt6}{4}=frac{3sqrt6cdot (sqrt2+sqrt6)}{4}=frac{3sqrt{12}+18}{4}=frac{3sqrt3+9}{2}$