Question

Вычислить неопределенный интеграл

Answer 1

$itdisplaystyleintfrac{x+arctgx}{1+x^2}dx=intfrac{x}{1+x^2}dx+intfrac{arctgx}{1+x^2}dx=\=frac{1}{2}intfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}+int arctgx d(arctgx)=frac{1}{2}ln|1+x^2|+frac{arctg^2x}{2}+C$

$itdisplaystyleintfrac{x-7}{x^2+4x+13}dx=frac{1}{2}intfrac{2x+4-18}{x^2+4x+13}dx=\\\=frac{1}{2}intfrac{2x+4}{x^2+4x+13}dx-9intfrac{dx}{x^2+4x+13}=\\\=frac{1}{2}intfrac{d(x^2+4x+13)}{x^2+4x+13}-9intfrac{d(x+2)}{(x+2)^2+9}=\\\=frac{1}{2}ln|x^2+4x+13|-3arctgfrac{x+2}{3}+C\\\(x^2+4x+13)'=2x+4$

$itdisplaystyleintfrac{3x^2+2x-1}{x(x+1)^2}dx=-intfrac{dx}{x}+4intfrac{d(x+1)}{x+1}=\\\=-ln|x|+4ln|x+1|+C=ln|frac{(x+1)^4}{x}|+C\\frac{3x^2+2x-1}{x(x+1)^2}=frac{A}{x}+frac{B}{x+1}+frac{C}{(x+1)^2}=-frac{1}{x}+frac{4}{x+1}\3x^2+2x-1=A(x^2+2x+1)+B(x^2+x)+Cx\x^2|3=A+Brightarrow B=4\x^1|2=2A+B+Crightarrow C=0\x^0|-1=A$