Question

$sin^{3} x + cos^{3}x = 1$

Answer 1

делаем замену:
$y=tg(frac{x}{2})$
так как:
$tg(frac{x}{2})=frac{1-cosx}{sinx}=frac{sinx}{1+cosx}$
то выражаем синус и косинус через y:
$ysinx=1-cosx \cosx=1-ysinx \sinx=y(1+cosx) \cosx=1-y*y(1+cosx) \cosx=1-y^2-y^2*cosx \y^2cosx+cosx=1-y^2 \cosx(y^2+1)=1-y^2 \cosx=frac{1-y^2}{y^2+1} \sinx=y(1+frac{1-y^2}{y^2+1}) \sinx=y(frac{y^2+1+1-y^2}{y^2+1}) \sinx=frac{2y}{y^2+1}$
упростим немного исходное уравнение:
$(sin^3x+cos^3x)=1 \(sinx+cosx)(1-sinx*cosx)=1$
подставляем:
$(frac{2y}{y^2+1}+frac{1-y^2}{y^2+1})(1-frac{1-y^2}{y^2+1}*frac{2y}{y^2+1})=1 \frac{2y+1-y^2}{y^2+1}*(1-frac{2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2})=1 \frac{2y+1-y^2}{y^2+1}*frac{y^4+2y^2+1-2y+2y^3}{(y^2+1)^2}=1 \(2y+1-y^2)(y^4+2y^3+2y^2-2y+1)=(y^2+1)^3$
раскрываем скобки в левой части:
$(2y+1-y^2)(y^4+2y^3+2y^2-2y+1)=\=2y^5+4y^4+4y^3-4y^2+2y+y^4+2y^3+2y^2-2y+1\-y^6-2y^5-2y^4+2y^3-y^2=-y^6+3y^4+8y^3-3y^2+1$
в правой части:
$(y^2+1)^3=y^6+3y^4+3y^2+1$
получим:
$-y^6+3y^4+8y^3-3y^2+1=y^6+3y^4+3y^2+1 \-y^6+8y^3-3y^2=y^6+3y^2 \2y^6-8y^3+6y^2=0 \y^2(y^4-4y+3)=0 \y_1=0 \y^4-4y+3=0 \P(1)=1-4+3=0 Rightarrow y_2=1$
используем схему Горнера(см вложение)
$(y-1)^2(y^2+2y+3)=0 \y^2+2y+3=0 \D textless 0$
обратная замена:
$y=0 \sinx= frac{0}{1} =0 \x_1=pi n, n in Z \cosx= frac{1}{1} =1 \x_2=2pi n, n in Z \y=1 \sinx= frac{2}{2} =1 \x_3=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z \cosx=0 \x_4=frac{pi}{2}+pi n, n in Z$
по условию замены пересекаем множества корней x1 с x2 и x3 с x4:
$left { {{x_1=pi n, n in Z} atop {x_2=2pi n, n in Z}} right. Rightarrow x_1=2pi n, n in Z \ left { {{x_3=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z} atop {x_4=frac{pi}{2}+pi n, n in Z}} right. Rightarrow x_2=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z$
В итоге:
$x_1=2pi n, n in Z \x_2=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z$
Ответ: $x_1=2pi n, n in Z ; x_2=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z$

Answer 2

Ты меня хочешь в чем переубедить?

Answer 3

я не писала что ты неправ...просто уточнила кое-что...

Answer 4

Я писал, что sin^3(x) + cos^2(x) НЕ МОЖЕТ быть больше 1, т. к. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и |sinx| <= 1. Да, если тебя можно переубедить, когда ты неправа.

Answer 5

опять ошибаешься со степенями... не напрягайся, твое объяснение верное, но мне мое больше нравится))))

Answer 6

но решение модератора нерациональное -явно!