Question

в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 20 градусам.
Доказать, что имеет место равенство a3+b3=3ab2

Answer 1

Сделаю предположение, что a - это основание, b - боковая сторона. Опустив высоту на основание, получаем прямоугольный треугольник с катетом (a/2) против угла в 10 градусов и гипотенузой b. Поэтому

$frac{a}{2b}=sin 10^{circ}.$. 

Далее, $frac{1}{2}=sin 30^{circ}=sin (3cdot 10^{circ})=3sin 10^{circ}-4sin^3 10^{circ}.$

Подставим в это равенство a/(2b) вместо синуса 10 градусов:

$frac{1}{2}=frac{3a}{2b}-frac{4a^3}{8b^3}Rightarrow b^3=3ab^2-a^3; a^3+b^3=3ab^2,$

что и требовалось