Question

Доказать, что функция F(x) =e^3x+cosx+x является первообразной функции f(x) =3e^3x-sinx+1 на всей числовой прямой

Answer 1

$F(x)=e^{3x}+cos x+x; D(F)=R\\f(x)=3e^{3x}-sin x+1; D(f)=R$

Если F(x) - первообразная функции f(x), то выполняется равенство

$F'(x)=f(x)$

$F'(x)=Big(e^{3x}+cos x+xBig)'=Big(e^{3x}Big)'+big(cos xbig)'+x'=\\~~~~~~~~=e^{3x}cdot big(3xbig)'-sin x +1=3e^{3x}-sin x +1\\boldsymbol{F'(x)=3e^{3x}-sin x +1=f(x)} blacksquare$