Question

(1/tgx)-1=cos2x/(1+tgx) - решите уравнение с помощью подстановки y=tgx

Answer 1

Если мы делаем замену y = tg x, то нам надо выразить
$cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = cos^2x*(1- frac{sin^2x}{cos^2x} )=cos^2 x*(1 - tg^2 x) = \ = frac{1}{1+tg^2x}*(1-tg^2x) =frac{1 - tg^2 x}{1 + tg^2 x}$
Подставляем
$frac{1}{y} -1= frac{(1-y^2)/(1+y^2)}{1+y}$
$frac{1-y}{y} = frac{(1-y)(1+y)}{(1+y^2)(1+y)} = frac{1-y}{1+y^2}$
$frac{1-y}{y} - frac{1-y}{1+y^2}=0$
$frac{(1-y)(1+y^2)-(1-y)*y}{y(1+y^2)} =0$
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет
(1 - y)(y^2 - y + 1) = 0
y = tg x = 1; x = pi/4 + pi*k
y^2 - y + 1 = 0 - это уравнение корней не имеет.
Ответ: pi/4 + pi*k