Question

Исследуйте функцию и построить ее график

Answer 1

$y = frac{x^2+3}{x+1} \ \ y=x-1+ frac{4}{x+1}$

1) Область определения: x+1≠0  ⇒  x≠-1
   D(f) = (-∞; -1)∪(-1;+∞)

2) Область значений (см. п. 6):
   E(f) = (-∞; -6]∪[2; +∞)

3) Нули функции
$y = frac{x^2+3}{x+1}; frac{x^2+3}{x+1} =0$
x²=-3   ⇒  пересечений с осью ОХ нет.

4) Пересечение с осью OY
  x=0   $y = frac{x^2+3}{x+1}= frac{0+3}{0+1} = 3$
Функция пересекает ось OY в точке (0; 3)

5) y>0;   $frac{x^2+3}{x+1} textgreater 0$ при   x+1>0; 
    x∈(-1; ∞)
y<0;  $frac{x^2+3}{x+1} textless 0$  при x+1<0;
    x∈(-∞; -1)

6) Экстремумы
$y'=(x-1+ frac{4}{x+1} )'=1+4*( frac{1}{x+1} )'=1+4* frac{-1}{(x+1)^2} \ \ y'=1- frac{4}{(x+1)^2} = frac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2} \ \ frac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2} =0$
(x+1)²-4=0;     (x+1)² = 4;    x+1 = 2   или  x+1 = -2
x₁ = 1;   $y_1= frac{1^2+3}{1+1} =2$
x₂ = -3;  $y_2= frac{(-3)^2+3}{-3+1} =-6$
В точке x₁ = 1:  y' меняет знак с минуса на плюс ⇒
(1; 2) - точка минимума
В точке x₂ = -3: y' меняет знак с плюса на минус ⇒
(-3; -6) - точка максимума

7) Функция убывает при x∈[-3; -1)∪(-1; 1]
    Функция возрастает при x∈(-∞;-3]∪[1;+∞)

8) Функция не является периодической
   $f(-x)= frac{(-x)^2+3}{-x+1} = frac{x^2+3}{-x+1}$
   Функция не является четной.
   Функция не является нечетной

9) вертикальная асимптота в точке разрыва  x=-1
   Левосторонний и правосторонний пределы бесконечны
   $lim_{x to -1-0} (x-1+ frac{4}{x+1}) =-1-1+ frac{4}{-0} =-infty \ \ lim_{x to -1+0} (x-1+ frac{4}{x+1}) =-1-1+ frac{4}{+0} =+infty$
  Наклонная асимптота    y = kx + b
$k= lim_{x to бinfty} frac{f(x)}{x} = lim_{x to бinfty} frac{(x-1+ frac{4}{x+1} )}{x} = \ \ =lim_{x to бinfty} (1- frac{1}{x}+ frac{4}{x(x+1)} )=1$

$b=lim_{x to бinfty} (f(x)-1*x)=lim_{x to бinfty} (x-1+ frac{4}{x+1}-x )= \ \ =lim_{x to бinfty} (-1+ frac{4}{x+1} )=-1$
Уравнение наклонной асимптоты
y=x-1

10) 
$y'' = (1- frac{4}{(x+1)^2} )'=- frac{4*(-2)}{(x+1)^3} = frac{8}{(x+1)^3}$
y''>0;   $frac{8}{(x+1)^3} textgreater 0$  при x>-1
⇒  график функции вогнутый при x∈(-1; +∞)
y''<0;  $frac{8}{(x+1)^3} textless 0$  при  x<-1
⇒ график функции выпуклый при x∈(-∞; -1)

Answer 2

Дополнение к 10): График функции точек перегиба не имеет, так как вторая производная меняет знак только в точке разрыва x=-1