Question

Много баллов.
Помогите, пожалуйста, разобраться
Все подробно
Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.

Answer 1

Ответ:

$V$ призмы = $72$ см³.

Объяснение:

Обозначим данную призму буквами $ABCD E F A_1B_1C_1D_1 E_1F_1$.

$AD_1 = 8$ см.

$\angle AD_1D = 30^{\circ}.$

============================================================

• Если призма правильная, то она всегда будет прямой.

$\Rightarrow \triangle AD_1D$ - прямоугольный, где $D_1D$ - высота данной призмы.

Рассмотрим $\triangle AD_1D$:

$\angle AD_1D = 30^{\circ}$, по условию.

• Если угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

$\Rightarrow AD = \dfrac{AD_1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ см.

По теореме Пифагора найдём высоту $D_1D$:

$D_1D^{2} = AD_1^{2} - AD^{2} = 8^{2} - 4^{2} = 48$

$D_1D = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим нижнее основание данной призмы:

шестиугольник $ABCD E F$ - правильный, так как данная призма тоже правильная.

$AD$ - большая диагональ шестиугольника $ABCD E F$.

По свойству правильного шестиугольника, $AB = AD : 2 = 4 : 2 = 2$ см.

$S$ шестиугольника = $6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AB \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{6} )= 6 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{6} )= 12 \cdot sin(60^{\circ}) = 6\sqrt{3}$ cм².

$V$ призмы = $S$ шестиугольника$\cdot D_1D = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 72$ см³