Question

Помогите решить однородное дифференциальное уравнение xy'+y(ln(y/x)-1)=0

Answer 1

$xy'+y(lnfrac{y}{x}-1)=0\y=tx;y'=t'x+t\\x(t'x+t)+tx(lnt-1)=0|:x\t'x+t+tlnt-t=0\t'x+tlnt=0\t'x=-tlnt|*frac{dx}{xtlnt}\frac{dt}{tlnt}=-frac{dx}{x}\\tlnt=0\t=0 lnt=0\y=0 t=1\. y=x\. y'=1\x+x(ln1-1)=0\0=0\\int frac{dt}{tlnt}=-intfrac{dx}{x}\ln|lnt|=-ln|x|+C\ln|lnt|+ln|x|=ln|C|\ln|xlnt|=ln|C|\xlnt=C\xlnfrac{y}{x}=C$