Question

Решить систему уравнений с двумя переменными
$left { {{ x^{2} + y^{2} + xy = 13 } atop {x + y + xy = 7}} right.$

Answer 1

$left { {{x^2+y^2+xy=13} atop {x+y+xy=7}} right. ; ,; ; x^2+y^2=(x+y)^2-2xy; ,; left { {{(x+y)^2-xy=13} atop {x+y+xy=7}} right. \\u=x+y; ,; ; v=xy; ; Rightarrow ; ; left { {{u^2-v=13} atop {u+v=7}} right. oplus ; left { {{u^2+u=20} atop {v=7-u}} right. ; left { {{u^2+u-20=0} atop {v=7-u}} right. \\ left { {{u_1=-5; ,; u_2=4} atop {v_1=12; ,; v_2=3}} right. \\a); ; left { {{x+y=-5} atop {xy=12}} right. ; left { {{y=-x-5} atop {x(-x-5)=12}} right. ; left { {{y=-x-5} atop {x^2+5x+12=0}} right. ; ,; D=25-4cdot 12=-23 textless 0$
нет действительных решений

$b); ; left { {{x+y=4} atop {xy=3}} right. ; left { {{y=4-x} atop {x(4-x)=3}} right. ; left { {{y=4-x} atop {x^2-4x+3=0}} right. ; left { {{y_1=3; ,; y_2=1} atop {x_1=1; ,; x_2=3}} right. \\Otvet:; ; (1,3); ,; ; (3,1); .$

Answer 2

x²+y²+xy=13
x+y+xy=7
Суммируем эти уравнения:
x²+2xy+y²+x+y=20
(x+y)²+(x+y)=20=0
Пусть (x+y)=t  ⇒
t²+t-20=0   D=81
t₁=-5                                        
x+y=-5      y=-5-x
-5+xy=7    xy=12      x*(-5-x)=-5x-x²=12   x²+5x+12=0   D=-23 ∉
t₂=4
x+y=4       y=4-x
4+xy=7     xy=3         x*(4-x)=4x-x²=3       x²-4x+3=0      D=4    x₁=3     x₂=1
y₁=4-3=1
y₂=4-1=3
Ответ: x₁=3   y₁=1    x₂=1     y₂=3.