Question

1.Вычислить: f' (- pi/4), если f(x)=e^x sinx
2.Сколько промежутков возрастания имеет функция y=x^2log2x?
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2^x^2-4x-1 в точке его пересечения с осью абсцисс

Answer 1

$1); ; f(x)=e^{x}sinx\\f'(x)=e^{x}sinx+e^{x}cosx=e^{x}(sinx+cosx)\\f'(-frac{pi}{4})=e^{-frac{pi}{4}}(sin(-frac{pi}{4})+cos(-frac{pi}{4}))=e^{-frac{pi}{4}}(-frac{sqrt2}{2}+frac{sqrt2}{2})=0\\2); ; y=x^2, log_2x\\y'=2xcdot log_2x+x^2cdot frac{1}{x}=xcdot (2log_2x+1)=0\\x_1=0; ,; ; log_2x=-frac{1}{2}; ; to ; ; x_2=2^{-frac{1}{2}}=frac{1}{sqrt2}=frac{sqrt2}{2}\\znaki; y':; ; +++(0)---(frac{sqrt2}{2})+++\.qquad qquad quad nearrow ; ; ; (0); ; ; searrow ; ; ; (frac{sqrt2}{2}); ; ; nearrow$

Два интервала возрастания:  $(-infty ,0)$  и  $(frac{sqrt2}{2},+infty )$  .

$3); ; f(x)=2x^2-4x-1\\2x^2-4x-1=0; ,; ; frac{D}{4}=4+2=6; ,; ; x_{1,2}= frac{2pm sqrt6}{2}\\f'(x)=4x-4=4(x-1)\\f'( frac{2-sqrt6}{2})=4(frac{2-sqrt6}{2}-1)=-2sqrt6\\f'(frac{2+sqrt6}{2})=4(frac{2+sqrt6}{2}-1)=2sqrt6\\a); ; y-0=-2sqrt6(x-frac{2-sqrt6}{2})\\underline {y=-2sqrt6x+2sqrt6-6}\\b); ; y-0=2sqrt6(x-frac{2+sqrt6}{2})\\underline {y=2sqrt6, x-2sqrt6-6}$