Question

Что за осложняющий компонент "с кем говоришь" в предложении Перестань говорить тотчас же, когда заметишь, что раздражаешься сам или тот, с кем говоришь.

Answer 1

[Перестань говорить тотчас же], (когда заметишь), (что раздражаешься сам или тот), (с кем говоришь).

Это сложноподчиненное предложение с последовательным подчинением придаточных частей (главное - в квадратных скобках, придаточные - в круглых).
Перестань говорить КОГДА?
Заметишь ЧТО?
Тот КТО?
Вывод. Это придаточное предложение.