Question

в трапеции ABCD основания AD и Bc равны 15 и 5 соответственно.точка P-пересечение диагоналей.Найти отношение площади трапеции ABCD к площади треугольника APD.

Answer 1

ΔAPD ~ ΔBPC  все три угла в этих треугольниках равны
∠APD = ∠BPC как вертикальные
∠PAD = ∠PСB как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей АС
∠PDA = ∠PBС как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей BD
коэффициент подобия равен отношению оснований
k = AD/BC = 15/5 = 3
Высоты этих треугольников h₁ и h₂, проведённые к основаниям трапеции, тоже относятся как коэффициент подобия и в сумме дают высоту трапеции h
k = h₁/h₂ 
h₂ = h₁/k
h₁ + h₂ = h
h₁ +h₁/k = h
h₁(1+1/k) = h
h₁*4/3 = h
S(ABCD) = 1/2*(15+5)*h = 10h = 10*h₁*4/3 = 40/3*h₁
S(APD) = 1/2*15*h₁ = 15/2*h₁
S(ABCD)/S(APD) = 40/3*h₁/(15/2*h₁) = 40/3*2/15 = 80/45 = 16/9