Question

при каких значениях a имеет решение уравнение sin^6x+cos^6x=a*sin4x

Answer 1

$sin^6x+cos^6x=asin 4x\ (underbrace{sin^2x+cos^2x}_{1})(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=asin 4x\ \ sin^4x-2sin^2xcos^2x+cos^4x+sin^2xcos^2x=asin4x\ \ (sin^2x-cos^2x)^2+frac{1}{4}cdot(2sin xcos x)^2=asin 4x\ \ cos^22x+frac{1}{4}sin^22x=2asin 2xcos 2x~~~|cdot 4\ \ 4cos^22x+sin^22x=8asin 2xcos 2x~~~|:cos^22xne 0\ \ 4+{rm tg}^22x=8a{rm tg}, 2x\ \ {rm tg}^22x-8a{rm tg}, 2x+4=0$

Пусть ${rm tg}, 2x=t$ при этом $tin mathbb{R}$, получим

$t^2-8at+4=0\ D=(-8a)^2-4cdot1cdot4=64a^2-16$

Квадратное уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицательный.

$64a^2-16geqslant0\ a^2geqslantfrac{1}{4}\ \ |a|geqslantfrac{1}{2}~~~~Rightarrow~~~~left[begin{array}{ccc}aleqslant-frac{1}{2}\ \ ageqslantfrac{1}{2}end{array}right$

Ответ: при a ∈ (-∞;-1/2] ∪ [1/2; +∞) уравнение имеет решение.