Question

Исследовать график функции с помощью производной
y=x^3-x^4
1) найти область определения
2)определить чет и не чет
3) найти точки пересечения графика с осями координат
4)определить промежутки монотонности и экстремумы
5) найти промежутки выпуклости и точки перегиба
6)найти координаты нескольких промежуточных точек если в этом есть необходимость
7)используя полученные результаты построить график

Answer 1

ДАНО

Y(x) = - x⁴ + x³

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. 

Вертикальной асимптоты нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

???Положительна - X∈(-∞;-√3)∪(0;√3), отрицательна - X∈(-√3;0)∪(√3;+∞).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = -∞ 

Горизонтальной асимптоты нет.

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).

Функция ни чётная нинечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= -4*x³ +3*x² = x²*(3/4 - x²) = 0. 

Корни:  x1= 0, x2 = - 3/4, x3 = 3/4 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(3/4)= 27/256, минимум – Ymin(0)=0. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈(-∞;3/4], убывает = Х∈[3/4;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = -12*x² +6*x=0. 

Корни производной - точки перегиба - х1 = 0, х2 = 1/2. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 1/2), Вогнутая – «ложка» Х∈[1/2;+∞). 

10. Наклонной асимптоты - нет.

lim(+∞)Y(x)/x = -4*x² + 3x = +∞ - нет 

10. График в приложении.