Question

Даю 30 баллов: Найти производную данных функций:
1. y= квадратный корень из arcctg(x/2)
2. y= ln квадратный корень (1+x^2)/(1-x^2)
3. y= ln x^ (1/x)
Данные функции представлены на фото ниже

Answer 1

$y= sqrt{arctg frac{x}{2} } ; y'(x)=(sqrt{arctg frac{x}{2} })|^{'}_{x} =(sqrt{arctg frac{x}{2} })|^{'}_{arctg frac{x}{2}}}*(arctg frac{x}{2})|^{'}_{x}= \ = frac{1}{2} (arctg frac{x}{2}})^{- frac{1}{2}}* (arctg frac{x}{2})|^{'}_{ frac{x}{2} }*( frac{x}{2} )|^{'}_{x}= \ = frac{1}{2 sqrt{arctg frac{x}{2} } } * frac{1}{1+( frac{x}{2})^2 } * frac{1}{2} = \ = frac{1}{ sqrt{actg frac{x}{2} }(4+ x^{2} ) }$
2)
$y=lnx^{ frac{1}{x}}= frac{1}{x}lnx \ y'(x)= ( frac{1}{x})'*lnx+ frac{1}{x}(lnx)' = -frac{lnx}{ x^{2} } + frac{1}{x} * frac{1}{x}= -frac{lnx}{ x^{2} } + frac{1}{ x^{2} }= \ = frac{1-lnx}{ x^{2} }$
3)
$y=ln sqrt{ frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} }= frac{1}{2} ln frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} = frac{1}{2} (ln(1+x^{2})-ln(1-x^{2})) (ln(1+x^{2}))|^{'}_{x}=(ln(1+x^{2}))|^{'}_{1+ x^{2} }*(1+x^{2})|^{'}_{x}= frac{1}{1+x^{2}} *2x= frac{2x}{1+x^{2}} \ (ln(1-x^{2}))|^{'}_{x}=(ln(1-x^{2}))|^{'}_{1- x^{2} }*(1-x^{2})|^{'}_{x}= frac{1}{1-x^{2}} *(-2x)= -frac{2x}{1-x^{2}} \ y'(x)= frac{1}{2}( frac{2x}{1+x^{2}}-(-frac{2x}{1-x^{2}}))=x( frac{1}{1+ x^{2} } + frac{1}{1- x^{2} } )= frac{2x}{1-x^{4}}$