Question

Какое решение имеет xyy'=1+y^2

Answer 1

$xyy'=1+y^2|*frac{dx}{x(1+y^2)}\frac{ydy}{1+y^2}=frac{dx}{x}\frac{1}{2}intfrac{d(1+y^2)}{1+y^2}=intfrac{dx}{x}\frac{1}{2}ln|1+y^2|=ln|x|+C|*2\ln|1+y^2|=2ln|x|+C'\ln|1+y^2|-ln|x^2|=ln|C'|\ln|frac{1+y^2}{x^2}|=ln|C'|\frac{1+y^2}{x^2}=C'$
Прим.:С' - это тоже константа, но отличная от исходной С, грубо говоря C'=2C.

Также при делении возможно теряются решения:
$1+y^2=0\y^2=-1\y=^+_-i\y'=0\x*(^+_-i)*0=1-1\0=0$
Да, это тоже решения, но отдельно указывать их не нужно, т.к. эти решения входят в общий интеграл при С=0.