Question

происхождение слова баюкать

Answer 1

производное (по аналогии с даяти, лияти, пияти, ср. подаяние, влияние, пиявка) от бати, в других славянских языках еще известного (ср. чешск. báti "рассказывать", в.-лужицк. bać "фантазировать" и др.). Общеслав. bati родственно лат. fāri "говорить", арм. ban "слово", латышск. bóti "спрашивать" и т. д.

Answer 2

Баюкать - 1. Ласково, тихо напевая, укачивать ребенка. 
2. перен. разг. Успокаивая, заставлять забыть о реальности.