Question

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом при основании 30°. Боковая грань, содержащая основание треугольника, перпендикулярна плоскости основания, а две другие образуют с ней угол 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Пусть имеем пирамиду SАВС, АС = АВ = 8, Углы АВС и ВАС = 30°.
SК = SМ это высоты боковых граней. SД это высота и пирамиды и боковой грани ASB.

Высота СД основания равна: СД = 8*sin 30° = 8*(1/2) = 4.
Основание АВ равно: АВ = 2*8*cos 30° = 16*(√3/2) = 8√3.
Площадь основания So = (1/2)*(8√3)*4 = 16√3.
Находим высоты SК и SМ.
Проведём секущую плоскость через высоту пирамиды перпендикулярно боковому ребру основания.
Отрезок ДК = (8√3/2)*sin 30° = 4√3*(1/2) = 2√3.
Высота пирамиды SД = ДК*tg 30° = 2√3*(1/√3) = 2.
Высоты SК и SМ равны 2/(sin 30°) = 2/(1/2) = 4.
Тогда Sбок = 2*((1/2)*8*4) + (1/2)*(8√3)*2 = 32 + 8√3.
Полная поверхность равна:
S = So + Sбок = 16√3 + 32 + 8√3 = (32 + 24√3) кв.ед.