Question

докажите тождество 1-cos2a+sin2a/1+cos2a+sin2a

Answer 1

Что нужно знать:
1) Косинус двойного угла
   $cos2 alpha =cos^2 alpha -sin^2 alpha$;
2)Синус двойного угла
   $sin2 alpha =2sin alpha cos alpha$;
3)Основное тригонометрическое тождество
   $sin^2 alpha +cos^ alpha =1$;
Перейдем непосредственно к доказательству тождества.
$frac{1-cos2 alpha +sin2 alpha }{1+cos2 alpha +sin2 alpha} = frac{sin^2 alpha +cos^ alpha -(cos^2 alpha -sin^2 alpha)+2sin alpha cos alpha }{sin^2 alpha +cos^ alpha +cos^2 alpha -sin^2 alpha+2sin alpha cos alpha} =\\= frac{sin^2 alpha +cos^ alpha -cos^2 alpha +sin^2 alpha+2sin alpha cos alpha }{sin^2 alpha +cos^ alpha +cos^2 alpha -sin^2 alpha+2sin alpha cos alpha} =frac{2sin^2 alpha+2sin alpha cos alpha }{2cos^ alpha +2sin alpha cos alpha}=$
$=frac{2(sin^2 alpha+sin alpha cos alpha) }{2(cos^ alpha +sin alpha cos alpha)}= frac{sin^2 alpha+sin alpha cos alpha }{cos^ alpha +sin alpha cos alpha}= frac{sin alpha(sin alpha +cos alpha )}{cosalpha (cos alpha +sin alpha )}= \\= frac{sin alpha}{cosalpha }= tg alpha$
ч.т.д.