Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью(очень срочно): y''+3y'+2y=2x²-4x-17 y(0)=1, y'(0)=0

Answer 1

Однородное уравнение решается легко:
Характеристическое: k^2+3k+2=(k+1)(k+2)=0
y0= C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)
Теперь неоднородное.
y* = A1*x^2+A2*x+A3
y* ' = 2A1*x+A2; y* '' = 2A1
Подставляем
2A1+3(2A1*x+A2)+2(A1*x^2+A2*x+A3)=2x^2-4x-17
Система по степеням х
{ 2A1=2; A1=1
{ 6A1+2A2=6+2A2=-4; A2=-5
{ 2A1+3A2+2A3=2-15+2A3=-17; A3=-2
y* = x^2-5x-2.
Решение неоднородного уравнения
y = y0+y* = C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)+x^2-5x-2
y ' = -C1*e^(-x)-2C2*e^(-2x)+2x-5
Теперь решаем задачу Коши.
y(0) = C1+C2-2 = 1
y ' (0) = -C1-2C2-5 = 0
Получаем систему
{ C1 + C2 = 3
{ C1 + 2C2 = -5
Если из 2 уравнения вычесть 1 уравнение, то получим:
C2 = -8; C1 = 11.
Ответ: y = 11e^(-x) - 8e^(-2x) + x^2 - 5x - 2