Question

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 3:8, считая от вершины.
Вычисли площадь основания, если площадь сечения равна 27дм2.

Answer 1

Для наглядности привожу рисунок треугольной пирамиды, хотя она может быть какой угодно.

Пирамида SABC;  высота  SO⊥(ABC);  (KMN)║(ABC);  SF:FO = 3:8
$S_{KMN}=27$  дм²
$frac{SF}{FO} = frac{3}{8}$      $FO= frac{8}{3} SF$     
SO = SF + FO = SF +  $frac{8}{3} SF = frac{11}{3} SF$

ΔSFM  прямоугольный  ∠SFM = 90°
ΔSOB  прямоугольный  ∠SOB = 90°
ΔSFM ~ ΔSOB  по общему острому ∠FSM  ⇒
$frac{SB}{SM} = frac{SO}{SF} = frac{ frac{11}{3} SF}{SF} = frac{11}{3}$

NM║CB  ⇒ ∠SNM = ∠SCB; ∠SMN = ∠SBC как соответственные углы  ⇒
ΔSCB ~ ΔSNM  по двум равным углам   ⇒
$frac{CB}{NM} = frac{SB}{SM} = frac{11}{3}$   ⇒
Т.к. фигура в сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобна основанию, то ΔABC ~ ΔKMN с коэффициентом подобия
k = $frac{11}{3}$
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате
$frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} =k^2=( frac{11}{3} )^2= frac{121}{9} \ \ S_{ABC}= frac{121}{9} S_{KMN}= frac{121}{9} *27=363$

Ответ: площадь основания 363 дм³