Question

найти промежутки возрастания и убывания функций

Answer 1

Если на каком-то промежутке производная данной функции положительна, то говорят, что данная функция на этом промежутке возрастает. Если производная  отрицательна, то говорят, что данная функция на этом промежутке убывает.
Значит, что делаем? Ищем производную и исследуем её знаки.
Поехали?
а)f'(x) = 2x² -2x +6 = 2(x² -x +3) = 2 ((x - 0,5)² +2,75) = 2(x-0,5)²  + 5,5 
'это выражение всегда положительно.
вывод: данная функция на весй области определения возрастает
б) f(x) = x³ -3x²
f'(x) = 3x² -6x
3x² -6x = 0
x(3x -6) = 0
x = 0      Или   3х -6 = 0
                         х = 2
-∞             0              2             +∞
          +              -               +        это знаки производной.
Вывод: f(x) = x³ -3x²   возрастает при х ∈(-∞;0)
             f(x) = x³ -3x²   возрастает при х ∈(2;+∞)
             f(x) = x³ -3x²   убывает  при х ∈(0; 2)

в)f'(x) = 1/3 - 3/x² = (x² -9)/3x²
x² -9 = 0          x = +-3
x²≠0, ⇒           x≠ 0
-∞            -3          0           3           +∞
        +              -          -             +          это знаки производной
Вывод:f(x) = x/3 +3/x  возрастает при х ∈(-∞;-3)
             f(x) = x/3 +3/x  возрастает при х ∈(3;+∞)
             f(x) = x/3 +3/x   убывает  при х ∈(-3; 0)∪(0;3)
г)f'(x) = 1/8 -2/x² = (x² -16)/x²
(x² -16) = 0          x = +-4
x² ≠ 0,⇒               x ≠ 0
-∞           -4           0            4           +∞
         +             -            -            +          это знаки производной
Вывод:f(x) = x/8 +2/x  возрастает при х ∈(-∞;- 4)
             f(x) = x/8 +2/x  возрастает при х ∈(4;+∞)
             f(x) = x/8 +2/x   убывает  при х ∈(- 4; 0)∪(0;4)