Question

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка спостоянными коэфициэнтами y''-2y'=3x^2+1

Answer 1

$y''-2y'=3x^2+1\\\lambda^2-2\lambda=0\\\lambda_1=0\ \lambda_2=2\\Y=C_1+C_2e^{2x}\\\hat{y}=Ax^3+Bx^2+Cx\\\hat{y}'=3Ax^2+2Bx+C\\\hat{y}''=6Ax+2B\\6Ax+2B-6Ax^2-4Bx-2C=3x^2+1\\x^2|-6A=3\rightarrow A=-\frac{1}{2}\\x|6A-4B=0\rightarrow B=-\frac{3}{4}\\x^0|2B-2C=1\rightarrow C=-\frac{5}{4}\\\hat{y}=-\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}-\frac{5x}{4}\\\\\\y=C_1+C_2e^{2x}-\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}-\frac{5x}{4}$