Question

Окружность с диаметром AD = 10 касается меньшего основания ВС трапеции АВСD и пересекает боковые стороны трапеции в их серединах – точках K и М. Найдите углы трапеции при основании АD и длину отрезка KМ

Answer 1

Проведем радиус ON в точку касания с ВС. 

NO⊥ВС, ⇒ NO⊥AD, 

КМ - средняя линия и делит пополам высоту  трапеции – радиус NO.

NO=R=d:2=5 

ОН= NO:2=2,5

NO перпендикулярна ВС и AD.⇒

NO⊥КМ, а КМ здесь - хорда. 

Радиус,  перпендикулярный хорде, делит ее пополам. 

КН=МН. 

Из ∆ КОН по т.Пифагора

КН=√(КО²-ОН²)=√(25-6,25)=2,5√3⇒

КМ=2•2,√5=5√3

Из ∆ КОН sinKOH=KH:KO=(2,5√3):5=√3/2 - это синус 60°

Тогда ∠КОА=90°-60°=30°

ОК=ОА ( радиусы) ∆ КОА- равнобедренный.⇒

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 

∠КАО=∠АКО= (180°-30°):2=75°