Question

50 баллов 1 задача, сам не промах, но не осилил. Может, кто решит)

Answer 1

Решим второе уравнение. 
3^m > 1, значит, m ≥ 2. Чтобы разность была целой, k должно быть неотрицательным.

Проверяем небольшие k:
k = 0: 3^m - 1 = 1 – нет целых решений
k = 1: 3^m - 2 = 1 – решение (m, k) = (1, 1)
k = 2: 3^m - 4 = 1 – нет целых решений

Пусть k ≥ 3, тогда 2^k делится на 8.
Рассмотрим остатки от деления 3^m на 8, m ≥ 2.
3^2 дает остаток 1, 3^3 – остаток 3, 3^4 – остаток 1 и т.д., последовательность остатков периодична с периодом 2. Чтобы 3^m - 2^s давало остаток 1 при делении на 3, m должно быть четным, m = 2s.

3^(2s) - 2^k = 1
(3^s)^2 - 1 = 2^k
(3^s - 1)(3^s + 1) = 2^k

3^s - 1 и 3^s + 1 должны быть степенями двойки, отличающимися на 2. Понятно, что так будет, только если 3^s - 1 = 2, 3^s + 1 = 4, откуда s = 1, m = 2, k = 3

Подставляем найденные решения в первое уравнение.
1) m = k = 1:
2^n - 5 = 3
2^n = 8
n = 3

2) m = 2, k = 3:
2^n - 125 = 3
2^n = 128
n = 7

Ответ. (m, n, k) = (2, 7, 3) или (1, 3, 1)