50 баллов 1 задача, сам не промах, но не осилил. Может, кто решит)
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/1ac/1ac452dcefe3b3136f9e886038d2d163.jpg)
goodKid3:
я низнаю
Ответы
Ответ дал:
3
Решим второе уравнение.
3^m > 1, значит, m ≥ 2. Чтобы разность была целой, k должно быть неотрицательным.
Проверяем небольшие k:
k = 0: 3^m - 1 = 1 – нет целых решений
k = 1: 3^m - 2 = 1 – решение (m, k) = (1, 1)
k = 2: 3^m - 4 = 1 – нет целых решений
Пусть k ≥ 3, тогда 2^k делится на 8.
Рассмотрим остатки от деления 3^m на 8, m ≥ 2.
3^2 дает остаток 1, 3^3 – остаток 3, 3^4 – остаток 1 и т.д., последовательность остатков периодична с периодом 2. Чтобы 3^m - 2^s давало остаток 1 при делении на 3, m должно быть четным, m = 2s.
3^(2s) - 2^k = 1
(3^s)^2 - 1 = 2^k
(3^s - 1)(3^s + 1) = 2^k
3^s - 1 и 3^s + 1 должны быть степенями двойки, отличающимися на 2. Понятно, что так будет, только если 3^s - 1 = 2, 3^s + 1 = 4, откуда s = 1, m = 2, k = 3
Подставляем найденные решения в первое уравнение.
1) m = k = 1:
2^n - 5 = 3
2^n = 8
n = 3
2) m = 2, k = 3:
2^n - 125 = 3
2^n = 128
n = 7
Ответ. (m, n, k) = (2, 7, 3) или (1, 3, 1)
3^m > 1, значит, m ≥ 2. Чтобы разность была целой, k должно быть неотрицательным.
Проверяем небольшие k:
k = 0: 3^m - 1 = 1 – нет целых решений
k = 1: 3^m - 2 = 1 – решение (m, k) = (1, 1)
k = 2: 3^m - 4 = 1 – нет целых решений
Пусть k ≥ 3, тогда 2^k делится на 8.
Рассмотрим остатки от деления 3^m на 8, m ≥ 2.
3^2 дает остаток 1, 3^3 – остаток 3, 3^4 – остаток 1 и т.д., последовательность остатков периодична с периодом 2. Чтобы 3^m - 2^s давало остаток 1 при делении на 3, m должно быть четным, m = 2s.
3^(2s) - 2^k = 1
(3^s)^2 - 1 = 2^k
(3^s - 1)(3^s + 1) = 2^k
3^s - 1 и 3^s + 1 должны быть степенями двойки, отличающимися на 2. Понятно, что так будет, только если 3^s - 1 = 2, 3^s + 1 = 4, откуда s = 1, m = 2, k = 3
Подставляем найденные решения в первое уравнение.
1) m = k = 1:
2^n - 5 = 3
2^n = 8
n = 3
2) m = 2, k = 3:
2^n - 125 = 3
2^n = 128
n = 7
Ответ. (m, n, k) = (2, 7, 3) или (1, 3, 1)
Вас заинтересует
5 месяцев назад
5 месяцев назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад