Question

Помогите с решением интегралов

Answer 1

$\displaystyle \int\frac{x^2-1}{x^3+4x}dx=-\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x}+\frac{5}{4}\int\frac{xdx}{x^2+4}=\\=-\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x}+\frac{5}{8}\int\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}=-\frac{1}{4}ln|x|+\frac{5}{8}ln|x^2+4|+C\\\\\\\\\frac{x^2-1}{x^3+4x}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=-\frac{1}{4x}+\frac{5x}{4(x^2+4)}\\x^2-1=x^2(A+B)+Cx+4A\\x^2|1=A+B\rightarrow B=\frac{5}{4}\\x|0=C\\x^0|-1=4A\rightarrow A=-\frac{1}{4}$

$\displaystyle \int cos^4xdx=\frac{1}{4}\int (1+cos2x)^2dx=\frac{1}{4}\int(1+2cos2x+cos^22x)dx=\\=\frac{1}{4}\int(1+2cos2x+\frac{1+cos4x}{2})dx=\frac{1}{4}\int(\frac{3}{2}+2cos2x+\frac{cos4x}{2})dx=\\=\frac{3x}{8}+\frac{sin2x}{4}+\frac{sin4x}{32}+C$
В интеграле использована формула понижения степени.

$\displaystyle \int\frac{dx}{7+10sin^2x}=\int\frac{dx}{12-5cos2x}=\int\frac{dt}{(1+t^2)(12-\frac{5(1-t^2)}{1+t^2})}=\\=\int\frac{dt}{17t^2+7}=\frac{1}{\sqrt{17}}\int\frac{d(\sqrt{17} t)}{17t^2+7}=\frac{1}{\sqrt{119}}arctg(\frac{\sqrt17t}{\sqrt 7})+C=\\=\frac{1}{\sqrt{119}}arctg(\frac{\sqrt17(tg \ x)}{\sqrt 7})+C\\\\\\t=tg\ x\\arctg\ t=x\\dx=\frac{dt}{1+t^2}\\cos2x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
В интеграле использована формула понижения степени и универсальная тригонометрическая подстановка.

$\displaystyle \int (1+2tg^3x)dx=\int(1+2(\frac{1}{cos^2x}-1)tgx)}dx=\\=\int(1+\frac{2tgx}{cos^2x}-2tgx)dx=\int dx+2\int tg\ xd(tg\ x)+2\int\frac{d(cosx)}{cosx}=\\=x+tg^2x+2ln|cosx|+C$

$\displaystyle \int(sin3xcos5x)dx=\frac{1}{2}\int (sin 8x-sin2x)dx=\frac{cos2x}{4}-\frac{cos8x}{16}+C$