Question

СРОЧНО!!! Даю 20 баллов! 10 класс

Известно, что множество значений параметра b, при которых число 2 лежит между корнями уравнения x^2-10bx+81b^2+2b-12=0,
является промежутком. Найти его длину (с точностью до третьего знака после запятой).

Answer 1

Решим уравнение как обычное квадратное.
x^2 - 10b*x + (81b^2 + 2b - 12) = 0
D/4 = (-5b)^2 - (81b^2 + 2b - 12) = 25b^2 - 81b^2 - 2b + 12 = -56b^2 - 2b + 12
Два корня есть, когда D/4 > 0
-56b^2 - 2b + 12 > 0
56b^2 + 2b - 12 < 0
D = 2^2 - 4*56(-12) = 4 + 2688 = 2692 = (2√673)^2
b1 = (-2 - 2√673)/112 = (-1 - √673)/56 ≈ -0,48; b2 = (-1 + √673)/56 ≈ 0,44
b ∈ ((-1 - √673)/56; (-1 + √673)/56) - при этих b у уравнения 2 корня.

Но нам надо, чтобы один корень был меньше 2, а другой больше 2.
{ x1 = 5b - √(-56b^2 - 2b + 12) < 2
{ x2 = 5b + √(-56b^2 - 2b + 12) > 2
Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Оставляем корни отдельно
{ 5b - 2 < √(-56b^2 - 2b + 12)
{ √(-56b^2 - 2b + 12) > 2 - 5b

1) Если b <= 2/5 = 0,4, то первое неравенство верно при любых b ∈ ОДЗ.
Потому что будет 5b - 2 <= 0. Значит, b ∈ ((-1 - √673)/56; 0,4]
Второе неравенство возводим в квадрат
-56b^2 - 2b + 12 > 4 - 20b + 25b^2
81b^2 - 18b - 8 < 0
D/4 = 9^2 - 81*(-8) = 81 + 648 = 729 = 27^2
b1 = (9 - 27)/81 = -18/81 = -2/9 ≈ -0,222 > (-1 - √673)/56 ≈ -0,48
b2 = (9 + 27)/81 = 36/81 = 4/9 ≈ 0,444 < (-1 + √673)/56 ≈ 0,445
Но b <= 0,4, поэтому
b ∈ (-2/9; 0,4] - ЭТО РЕШЕНИЕ.

2) Если b >= 0,4, то второе неравенство верно при любых b ∈ ОДЗ.
Потому что будет 2 - 5b < 0. Значит, b ∈ [0,4; (-1 + √673)/56)
Первое неравенство возводим в квадрат
25b^2 - 20b + 4 < -56b^2 - 2b + 12
81b^2 - 18b - 8 < 0
Неравенство получилось такое же, и решение у него такое же:
b ∈ (-2/9; 4/9)
Промежуток b ∈ [0,4; (-1 + √673)/56) входит в это решение, поэтому
b ∈ (0,4; (-1 + √673)/56) - ЭТО РЕШЕНИЕ.

Ответ: Промежуток: b ∈ (-2/9; (-1 + √673)/56)
Длина этого промежутка с точностью до 3 знаков после запятой:
0,44539 + 0,22222 = 0,66761 ≈ 0,668