Question

100 БАЛЛОВ!!!
$(x+2)(x+3)(x+8)(x+12) \leq 4x^2$

Answer 1

(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)≤4x²
(x²+3x+2x+6)(x²+12x+8x+96)≤4x²
(x²+5x+6)(x²+20x+96)≤4x²
x⁴+20x³+96x²+5x³+100x²+480x+6x²+120x+576≤4x²
(x⁴)+(20x³+5x³)+(96x²+100x²+6x²-4x²)+(480x+120x)+576≤0
x⁴+25x³+198x²+600x+576≤0
x=-4
x⁴+25x³+198x²+600x+576|x+4
x⁴+4x³                                  x³+21x²+114x+144
     21x³+198x²+600x+576
     21x³+84x²
              114x²+600x+576
              114x²+456x
                        144x+576
                        144x+576
                                    0
(x+4)(x³+21x²+114x+144)≤0
x³+21x²+114x+144=0
x=-6
x³+21x²+114x+144|x+6
x³+6x²                  x²+15x+24
     15x²+114x+144
     15x²+90x
               24x+144
               24x+144
                         0
(x+4)(x+6)(x²+15x+24)≤0
x²+15x+24=0
D=15²-4*24=225-96=129
x₁=(-15+√129)/2
x₂=(-15-√129)/2
(x+4)(x+6)(x-((-15+√129)/2))(x-((-15-√129)/2))≤0
√121<√129<√144 ⇒ 11<√129<12 ⇒ √129≈11,3
(-15+11,3)/2=-1,85
(-15-11,3)/2=-13,15
                  ////////////////                  ////////////////
          +                -                +                -                 +
________.________.________.________.________
           (15-√129)/2    -6               -4         (-15+√129)/2 
x∈[(15-√129)/2;-6]U[-4;(-15+√129)/2]

Answer 2

(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2
Для того, чтобы решить данное неравенство, сначала решим уравнение
(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2
((х+2)(х+12)) ((х+3)(х+8))=4х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)=4х^2
При х=0 уравнение не имеет смысла, тогда можем разделить обе части на х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)/хх=4х^2/х^2
(х+14+24/х)(х+11+24/х)=4
Введем замену: х+11+24/х=t
(t+3)t=4
t^2+3t-4=0
По теореме Виета, t1+t2=-3,
t1*t2=-4;

t={-4;1}
Вернёмся к замене:

х+11+24/х=-4,
х+11+24/х=1;

х+24/х+15=0, |*х
х+24/х+10=0; |*х

х^2+15х+24=0, (1)
х^2+10х+24=0; (2)

1) х^2+15х+24=0
Д=225-96=129

х1=(-15-√129)/2,
х2=(-15+√129)/2;

2) х^2+10х+24=0
По теореме Виета, х1+х2=-10,
х1*х2=24;

х1=-6,
х2=-4;

Тогда уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 равносильно уравнению (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)=0

Значит, неравенство (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2 равносильно неравенству (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)≤0

Методом интервалов находим решения:

х принадлежит [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]
Ответ: [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]