Question

Вычислить логарифмическое неравенство:

Answer 1

1) разбираемся со 2-м логарифмом: приведём его к основанию = 2
log₁/₂(2ˣ⁺¹ -2) = log₂(2ˣ⁺¹ -2)/log₂(1/2) = -log₂(2ˣ⁺¹ -2) = -log₂(2(2ˣ -1)) =
= - log₂2 - log₂(2ˣ -1)
сам пример: log₂(2ˣ -1)*(- log₂2 - log₂(2ˣ -1))> -2
 log₂(2ˣ -1)*(1 + log₂(2ˣ -1)) < 2
 Сначала ОДЗ: 2ˣ -1 > 0, ⇒2ˣ > 1, ⇒ x > 0
2) теперь решаем:
 log₂(2ˣ -1) = t
t(1 +t) < 2
t +t² -2 < 2
t² +t -2 < 0
по т. Виета корни -2 и 1
решение : -2 < t < 1
                  -2<  log₂(2ˣ -1) < 1
                   log₂(1/4) <  log₂(2ˣ -1) <  log₂2
                   1/4 < 2ˣ -1 < 2
                     5/4 <  2ˣ < 3
                     2^log₂(5/4) < 2ˣ < 2^log₂3
                        log₂(5/4) < x < log₂3